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Wissen
05/03/2019

Mathematik-Aufgabe: Hätten Sie es gewusst?

Der KURIER hat einen Mathematiker gefragt, wie er zu der Antwort auf einer früheren Matura-Aufgabe kommt.

Aufgabe:

Zahlenmengen

Nachstehend sind Aussagen über Zahlen aus den Mengen ℤ, ℚ, ℝ und ℂ angeführt.

Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Irrationale Zahlen lassen sich in der Form ab mit a, b ∈ ℤ und b ≠ 0 darstellen.

Jede rationale Zahl kann in endlicher oder periodischer Dezimalschreibweise geschrieben werden.

Jede Bruchzahl ist eine komplexe Zahl.

Die Menge der rationalen Zahlen besteht ausschließlich aus positiven Bruchzahlen.

Jede reelle Zahl ist auch eine rationale Zahl.

Lösung:

Jeder Bruch kann durch Ausführen einer Division in Dezimalschreibweise gebracht werden: Die Zahl hat dann entweder endlich viele Nachkommastellen ≠0, z.B.: 7/4 = 7:4 = 1,75 oder sie hat unendlich viele Nachkommastellen ≠0, z.B.:  7/3 = 7:3 = 2,333…. Im zweiten Fall muss die Zahl aber periodisch sein, d.h. in den Nachkommastellen wiederholt sich schließlich immer wieder die gleiche Abfolge von Ziffern. Genau diese Zahlen bilden den Zahlenbereich der rationalen Zahlen . Es gibt auch Zahlen in Dezimalschreibweise mit unendlich vielen Nachkommastellen ≠0, die nicht periodisch sind, z.B.: die berühmte Kreiszahl π=3,1415926…. Genau diese Zahlen bilden den Zahlenbereich der irrationalen Zahlen. Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden gemeinsam den Zahlenbereich der reellen Zahlen . Um auch Gleichungen wie x² = -1 lösen zu können, wurde der Zahlenbereich auf die komplexen Zahlen erweitert. Dieser enthält neben den reellen Zahlen auch Zahlen wie 42+7i mit der imaginären Einheit i, die eine Lösung der Gleichung x² = -1 ist.

Antwort 1 ist also falsch. Hier werden genau die rationalen Zahlen und nicht die irrationalen Zahlen beschrieben.

Antwort 2 ist also richtig.

Antwort 3 ist also richtig: Jede Bruchzahl ist eine reelle Zahl und jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl.

Antwort 4 ist also falsch, weil es auch negative Bruchzahlen gibt, z.B. -23/6.

Antwort 5 ist also falsch, weil eine reelle Zahl auch irrational sein kann.